디오판토스 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 유형 및 예시
4. 디오판토스 해석학
참조

1. 개요

디오판토스 방정식은 정수 또는 유리수 해를 찾는 부정 다항 방정식으로, 3세기 알렉산드리아의 수학자 디오판토스가 연구한 데서 유래했다. 다양한 유형이 존재하며, 페르마의 마지막 정리, 펠 방정식, 타원 곡선 등이 대표적이다. 디오판토스 해석학은 해의 존재 여부, 개수, 계산 가능성 등을 연구하며, 힐베르트의 열 번째 문제와 관련된 마티야세비치 정리는 일반적인 해법이 존재하지 않음을 증명했다. 대수 기하학적 방법이 현대 연구에 활용되며, 2변수 2차 방정식의 정수해 존재 판정 문제는 NP 완전 문제로 증명되었다.

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디오판토스 방정식 - 펠 방정식
펠 방정식은 제곱수가 아닌 양의 정수 n에 대해 $x^2-ny^2=1$ 꼴로 표현되는 디오판토스 방정식이며, 이차 수체에서 노름이 1인 원소를 찾는 문제로 해석되고, 자명한 해 외에 항상 정수해를 가지며, 해는 연분수 전개를 통해 구할 수 있고, 무리 제곱근의 유리 근삿값과 관련되어 고대부터 연구되었다.
디오판토스 방정식 - 베주 항등식
베주 항등식은 주 아이디얼 정역에서 두 원소의 최대공약수를 그 두 원소의 정수 배의 합으로 나타낼 수 있다는 정리이며, 확장 유클리드 알고리즘을 통해 베주 계수를 구할 수 있고, 정수, 다항식 등 다양한 대수적 구조로 확장 가능하다.

디오판토스 방정식

2. 역사

디오판토스 방정식이라는 이름은 헬레니즘 시대인 3세기경 알렉산드리아의 수학자 디오판토스가 이러한 유형의 부정 다항 방정식을 체계적으로 연구하고 《산학》(算學, Arithmetica|아리트메티카^la, Ἀριθμητικῶν|아리트메티콘^grc)이라는 책으로 정리했기 때문에 붙여졌다.^[12] 디오판토스는 수학 기호를 대수학에 도입한 초기 수학자 중 한 명으로 평가받는다.

개별적인 디오판토스 방정식은 고대부터 퍼즐이나 문제 형태로 알려져 왔으며, 정수해나 유리수해를 찾는 것은 예로부터 매우 어려운 문제로 인식되었다. 고대 인도 수학자들도 관련 연구를 진행하며 해법을 발전시켰다.

17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 디오판토스의 《산학》 연구 중 책 여백에 유명한 페르마의 마지막 정리를 남겼다. 이 정리는 "n이 2보다 큰 정수일 때, $x^n + y^n = z^n$ 을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"는 내용으로, 1994년 앤드루 와일스에 의해 증명되었다. 페르마는 또한 $61 x^2 + 1 = y^2$ 와 같은 특정 디오판토스 방정식의 해를 구하는 문제를 제시하기도 했다.

20세기에 들어 디오판토스 방정식 연구는 "디오판토스 해석학"이라는 독립된 수학 분야로 자리 잡았다.^[13] 1900년 다비트 힐베르트가 제시한 힐베르트의 열 번째 문제는 디오판토스 방정식의 정수해 존재 여부를 판별하는 일반적인 알고리즘을 찾는 것이었으나, 1970년 러시아의 수학자 유리 마티야세비치에 의해 그러한 알고리즘은 존재하지 않음이 증명되었다.^[10] 이는 계산 가능성 이론의 중요한 결과이다. 현대에는 문제의 어려움이 계산 복잡성 이론 관점에서도 연구되어, 일부 방정식 해 존재 판정 문제가 NP 완전 문제임이 밝혀지기도 했다.

2. 1. 고대와 중세

이러한 방정식을 디오판토스 방정식이라 부르는 것은 헬레니즘 시기인 3세기 무렵 알렉산드리아의 수학자였던 디오판토스가 이런 유형의 부정 다항 방정식을 만들고 연구하여 정리하였기 때문이다. 디오판토스는 자신이 연구한 문제들을 정리하여 《산학》(算學, Arithmetica|아리트메티카^la, Ἀριθμητικῶν|아리트메티콘^grc)을 저술하였다. 디오판토스는 수학 기호를 대수학에 도입한 최초의 수학자들 가운데 한 명이기도 하다.^[12]

개별적인 디오판토스 방정식은 오래전부터 퍼즐이나 문제의 형태로 알려져 왔다. 디오판토스 방정식의 정수해나 유리수해를 구하는 문제는 예로부터 매우 어려운 문제로 알려져 있으며, 디오판토스 자신과 같은 고대 학자들이 대표적인 연구자이다.

인도의 수학자 아리아바타는 499년에 쓴 그의 저작에서 선형 디오판토스 방정식

ay + bx = c

의 정수해 해법을 처음으로 명확히 기록하고 이를 "쿠타카법"이라고 불렀다. 이후 7세기경 브라마굽타는 "차크라발라법"을 사용하여 펠 방정식(

61 x^2 + 1 = y^2

형태)과 같은 2차 디오판토스 방정식을 다루었다. 1150년에는 바스카라 2세가 브라마굽타의 해법을 개선하여 펠 방정식 외에도 부정 이차 방정식 및 이차 디오판토스 방정식의 일반해를 찾았다.

2. 2. 근대

1637년 피에르 드 페르마는 디오판토스의 저서 《산학》(算學, Arithmetica|아리트메티카^la)의 여백에 유명한 주석을 남겼다. 그는 "세제곱을 두 세제곱으로, 네제곱을 두 네제곱으로, 일반적으로 2보다 큰 거듭제곱을 같은 거듭제곱으로 나눌 수 없다"고 적었는데, 이는 현대적인 표현으로 "정수 n이 2보다 클 때, 방정식

x^n + y^n = z^n

을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"는 의미이다. 페르마는 "나는 이 명제의 진정으로 놀라운 증명을 발견했지만, 이 여백이 너무 좁아 담을 수 없다"고 덧붙였다. 이 주장은 이후 페르마의 마지막 정리로 알려지게 되었으며, 수 세기 동안 많은 수학자들의 도전 과제가 되었다가 1995년에 이르러서야 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다.

또한 1657년, 페르마는 디오판토스 방정식

61 x^2 + 1 = y^2

의 해를 구하는 문제에 도전했다. 흥미롭게도 이 문제는 이미 약 1000년 전에 인도의 수학자 브라흐마굽타에 의해 해결된 바 있었다.^[12] 페르마가 제기한 이 문제는 18세기 초 레온하르트 오일러에 의해 다시 풀렸다. 오일러는 이 외에도 다양한 디오판토스 방정식을 연구하고 해를 구하는 데 기여했다. 참고로,

61 x^2 + 1 = y^2

방정식의 가장 작은 양의 정수 해는

x = 226153980

,

y = 1766319049

이다 (차크라발라 방법 참조). 디오판토스 방정식의 정수해나 유리수해를 구하는 문제는 예로부터 매우 어려운 문제로 알려져 있으며, 디오판토스 자신과 근대의 프랑스 수학자 페르마 등이 대표적인 연구자로 유명하다.

2. 3. 현대

디오판토스 방정식의 일반형인 이차 형식은 20세기에 들어와서야 정리되었다. 디오판토스 방정식을 연구하는 분야는 오늘날 "디오판토스 해석학"이라고 불린다.^[13]

1900년, 독일의 수학자 다비트 힐베르트는 20세기에 해결해야 할 중요한 수학 문제 23개를 제시했는데, 이를 힐베르트의 문제들이라고 한다. 이 중 열 번째 문제는 "임의로 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 판별할 수 있는 알고리즘을 제시하라"는 것이었다(힐베르트의 열 번째 문제).^[16] 이는 어떤 디오판토스 방정식이 주어졌을 때, 그 방정식의 정수해가 존재하는지를 기계적으로 판별할 수 있는 일반적인 절차가 있는지 묻는 문제였다.

이 문제는 오랜 시간 동안 미해결 상태로 남아 있었으나, 1970년 소련의 수학자 유리 마티야세비치가 줄리아 로빈슨, 마틴 데이비스, 힐러리 퍼트넘 등의 선행 연구를 바탕으로 힐베르트가 요구한 일반적인 알고리즘은 존재할 수 없다는 것을 증명했다(마티야세비치 정리).^[16] 즉, 힐베르트의 열 번째 문제는 부정적으로 해결되었으며, 모든 디오판토스 방정식의 정수해 존재 여부를 판별하는 단일한 알고리즘은 만들 수 없다는 것이 밝혀졌다. 이 증명은 계산 가능성 이론 분야에서 중요한 의미를 갖는다.^[10]

마티야세비치 정리의 한 가지 중요한 귀결은, 재귀적으로 열거 가능한 임의의 정수 집합 (예를 들어 소수의 집합)에 대해, 그 집합의 원소들을 정확히 정수해로 갖는 디오판토스 방정식이 반드시 존재한다는 것이다. 한편, 일본의 수학자 히로세 겐 역시 마티야세비치와 거의 같은 시기에 독립적으로 이 문제에 대한 부분적인 해결책을 제시한 바 있다.

20세기에는 디오판토스 방정식을 연구하는 새로운 방법으로 대수 기하학을 이용한 접근 방식이 활발히 탐구되었다. 이 관점에서 디오판토스 방정식은 기하학적인 대상인 초곡면의 방정식으로 해석될 수 있으며, 방정식의 정수해는 그 초곡면 위에 있는 정수 좌표를 갖는 점들에 해당한다.

이러한 대수기하학적 접근 방식은 1637년경 피에르 드 페르마가 증명 없이 언급했던 페르마의 마지막 정리를 해결하는 데 결정적인 기여를 했다. 1994년 영국의 수학자 앤드루 와일스는 타니야마-시무라 추측의 일부를 증명함으로써 350년 이상 미해결 상태였던 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 성공했다(와일스의 페르마의 마지막 정리 증명). 이는 디오판토스 방정식의 난해함을 보여주는 또 다른 사례이자, 현대 수학의 중요한 성과로 평가받는다.

디오판토스 방정식의 해를 찾는 문제의 어려움은 계산 복잡성 이론의 관점에서도 연구된다. 예를 들어, 두 개의 변수를 가진 이차 방정식 ''a'' ''x''² + ''b'' ''y'' + ''c'' = 0의 정수해 존재 여부를 판정하는 문제는 NP 완전 문제임이 증명되었다. 이는 해당 문제에 대해 효율적인 해법(다항 시간 안에 답을 찾는 알고리즘)이 존재할 가능성이 매우 낮다는 것을 의미한다.

3. 주요 유형 및 예시

디오판토스 방정식은 정수 계수를 가지는 다변수 고차 부정 방정식으로, 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다.

: $\sum a_{e_1 e_2\ldots e_m}x_1^{e_1}x_2^{e_2}\cdots x_m^{e_m} = 0 \quad (a_{e_1 e_2\ldots e_m} \in \Z)$

여기서 $a$ 는 주어진 정수 계수이고, $x_1, x_2, \ldots, x_m$ 은 미지의 정수 변수이다. 즉, 정수와 변수의 정수 거듭제곱의 덧셈, 뺄셈, 곱셈으로 이루어진 방정식 중 정수 해를 찾는 문제를 다룬다.

지수 부분에도 변수가 포함된 방정식을 지수형 디오판토스 방정식(exponential Diophantine equation)이라고 부르기도 한다. 이러한 방정식은 일반적인 디오판토스 방정식의 여러 조합으로 변환될 수 있음이 알려져 있다.^[10]^[11]

디오판토스 방정식에는 다양한 유형이 있으며, 그중 특수한 형태를 가진 몇 가지 주요 방정식들은 다음과 같다.

'''선형 디오판토스 방정식''': $ax + by = c$ 형태.
'''피타고라스 방정식''': $x^2 + y^2 = z^2$ 형태. 이 방정식의 양의 정수 해는 피타고라스 수라고 한다.
'''펠 방정식''': $x^2 - ny^2 = 1$ (여기서 $n$ 은 제곱수가 아닌 양의 정수) 형태.
'''타원 곡선''': $y^2 = f(x)$ 형태 (단, $f(x)$ 는 중근 없는 3차 또는 4차 다항식).
'''초타원 곡선''': $y^2 = f(x)$ 형태 (단, $f(x)$ 는 중근 없는 5차 이상 다항식).
'''투에 방정식''': $f(x, y) = k$ 형태 (단, $f(x, y)$ 는 3차 이상 제차 기약 다항식, $k \neq 0$ ).

이 외에도 다음과 같은 특정 방정식들이 잘 알려져 있다.

$x^n + y^n = z^n$ : $n=2$ 일 때는 피타고라스 방정식이며 무한히 많은 해가 존재한다. $n>2$ 인 경우, 페르마의 마지막 정리에 따라 0이 아닌 정수 해는 존재하지 않는다.^[1]^[3]
$w^3 + x^3 = y^3 + z^3$ : 양의 정수 해 중 가장 작은 비자명 해는 $12^3 + 1^3 = 9^3 + 10^3 = 1729$ 이며, 이는 택시 수로 알려져 있다.^[1] 비자명 해는 무한히 많이 존재한다.^[2]
$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ : 에르되시-스트라우스 추측은 $n \ge 2$ 인 모든 정수 $n$ 에 대해 양의 정수 해 $x, y, z$ 가 항상 존재한다고 추측한다. 이는 다항식 $4xyz = n(xy + yz + xz)$ 와 동치이다.
$x^4 + y^4 + z^4 = w^4$ : 오일러는 비자명 해가 없을 것으로 추측했으나, 엘키스에 의해 무한히 많은 해가 존재함이 증명되었고, 가장 작은 해는 $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ 임이 밝혀졌다.^[4]^[5]

이러한 다양한 디오판토스 방정식과 그 해법 연구는 정수론 발전의 중요한 부분을 차지한다.

3. 1. 선형 디오판토스 방정식

a x + b y = c

와 같은 형식의 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다. 여기서

a, b, c

는 주어진 정수이고,

x, y

는 미지의 정수이다.

특히

c

가

a

와

b

의 최대공약수(

d = \text{gcd}(a, b)

)일 때 이 방정식을 베주 항등식이라고 부른다.

선형 디오판토스 방정식

ax+by=c

가 정수 해

(x, y)

를 가질 필요충분조건은

c

가

a

와

b

의 최대공약수

d

의 배수가 되는 것이다.

해가 존재할 경우, 그 해는 무한히 많다. 만약

(x_0, y_0)

가 하나의 해라면, 다른 모든 해는 다음과 같은 형태로 주어진다.

(x_0 + k v, y_0 - k u)

여기서

k

는 임의의 정수이고,

u = a/d

,

v = b/d

이다. (

d = \text{gcd}(a, b)

)

베주 항등식을 포함한 선형 디오판토스 방정식의 해는 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 구할 수 있다.

3. 2. 피타고라스 방정식

피타고라스 방정식은

x^2 + y^2 = z^2

형태의 디오판토스 방정식으로, 여기서

x, y, z

는 미지의 정수이다.^[1]^[2] 이 방정식은 직각삼각형의 세 변의 길이에 해당하며, 특히 자연수 해

(x, y, z)

를 피타고라스 수라고 부른다.^[1]^[2]

방정식

x^n + y^n = z^n

에서

n=2

인 경우에 해당하며, 무한히 많은 정수 해가 존재한다.^[1] (참고로,

n>2

인 경우에는 페르마의 마지막 정리에 따라 0이 아닌 정수 해가 존재하지 않는다.^[1]) 방정식

x^2+y^2-z^2=0

은 연구된 두 번째 차수의 최초 동차 디오판토스 방정식일 수 있으며,^[3] 단위원

x^2+y^2=1

의 동차 방정식이기도 하다.^[3]

피타고라스 수를 생성하는 일반적인 공식(유클리드 공식)이 존재하며, 이는 단위원과 직선의 기울기를 이용하여 유도할 수 있다.^[3] 단위원 위의 점

(-1, 0)

을 지나는 기울기

t

인 직선

y=t(x+1)

을 이용하면

x

와

y

를

t

에 대한 유리식으로 표현할 수 있다.^[3]

x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad y=\frac{2t}{1+t^2}

^[3]

이를 동차화하고

t = s/t

(여기서

s, t

는 서로소 정수)로 치환하면, 모든 정수 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[3]

\begin{align}x&=k\,\frac{s^2-t^2}{d}\\y&=k\,\frac{2st}{d}\\z&=k\,\frac{s^2+t^2}{d}\end{align}

여기서

k

는 임의의 정수,

s

와

t

는 서로소인 정수이며,

d

는

s^2-t^2

,

2st

,

s^2+t^2

의 최대공약수이다. (

s

와

t

가 모두 홀수이면

d=2

이고, 하나가 홀수이고 다른 하나가 짝수이면

d=1

이다.)^[3]

특히

k=1

이고

s > t > 0

인 해를 원시 피타고라스 수(primitive Pythagorean triple)라고 한다.^[3] 이 해의 표현 방식은 유클리드 공식과 약간 다를 수 있는데, 유클리드 공식은 보통

x, y, z

가 모두 양수인 해만을 고려하고,

x

와

y

의 순서를 구별하지 않기 때문이다.^[3]

3. 3. 펠 방정식

x^2 - ny^2 = 1

형태의 방정식을 펠 방정식이라고 부른다. 이 이름은 영국의 수학자 존 펠의 이름을 딴 것이다. 하지만 이와 같은 형태의 방정식은 7세기 인도의 수학자 브라흐마굽타와 17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마에 의해서도 연구되었다. 펠 방정식의 일반적인 정수 해는 연분수를 응용하여 구할 수 있다.

3. 4. 타원 곡선

y^2 = f(x)

(여기서

f(x)

는 중근을 갖지 않는 3차 또는 4차 다항식) 형태의 방정식을 말한다.

정수론의 중심적인 연구 과제 중 하나이다. 특히 유리수 해에 대한 구조 정리인 모데르 정리가 알려져 있다. 정수 해는 유한 개만 존재하며, 원리적으로 모든 정수 해를 구하는 것이 가능하다. 유한체 위의 타원 곡선 구조 역시 연구되었으며, 이는 암호 이론 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

3. 5. 초타원 곡선

''y''² = ''f'' (''x'') 형태의 방정식을 말한다. 여기서 ''f'' (''x'')는 중근을 갖지 않는 5차 이상의 다항식이다.

초타원 곡선의 정수 해는 유한 개만 존재하며, 원리적으로는 모든 정수 해를 구할 수 있다. 파르팅스 정리에 따르면 유리수 해도 유한 개만 존재하지만, 모든 유리수 해를 구하는 일반적인 방법이 알려져 있지는 않다.

3. 6. 투에 방정식

투에 방정식은 ''f''(''x'', ''y'') = ''k'' 형태의 방정식을 말한다. 여기서 ''f''(''x'', ''y'')는 3차 이상의 제차 기약 다항식이며, ''k''는 정수이다.

투에 방정식의 정수 해는 유한 개만 존재하며, 원리적으로 모든 정수 해를 구할 수 있다.

만약 이 방정식에서 다항식 ''f''의 차수가 3이라면, 해당 곡선은 타원 곡선과 쌍유리 동치가 된다. 차수가 4 이상일 경우에는 파르팅스 정리에 따라 유리수 해도 유한 개만 존재하지만, 모든 유리수 해를 구할 수 있다고 보장되지는 않는다.

3. 7. 기타 방정식

방정식	설명
$ax+by = c$	선형 디오판토스 방정식 또는 베주의 항등식이다. 유클리드 호제법을 이용하여 일반적인 정수 해를 구할 수 있다.
$w^3 + x^3 = y^3 + z^3$	양의 정수 해 중 가장 작은 비자명 해는 $12^3 + 1^3 = 9^3 + 10^3 = 1729$ 이다. 이 수는 택시 수(또는 하디-라마누잔 수)라고 불리며, 1917년 라마누잔이 하디를 만났을 때 언급하여 유명해졌다.^[1] 비자명 해는 무한히 많이 존재한다.^[2]
$x^n + y^n = z^n$	$n=2$ 일 경우, 해 $(x, y, z)$ 는 피타고라스 수라고 하며 무한히 많이 존재한다. $n>2$ 인 정수에 대해서는 페르마의 마지막 정리(1637년 페르마가 처음 주장하고 1995년 앤드루 와일스가 증명^[3])에 따라 0이 아닌 양의 정수 해 $(x, y, z)$ 는 존재하지 않는다.
$x^2 - ny^2 = \pm 1$	영국의 수학자 존 펠의 이름을 딴 펠 방정식이다. 7세기 인도의 수학자 브라마굽타와 17세기 프랑스의 수학자 페르마에 의해서도 연구되었다. 연분수를 이용하여 일반적인 정수 해를 구할 수 있다.
$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$	에르되시-스트라우스 추측은 $n \ge 2$ 인 모든 양의 정수 $n$ 에 대해, 이 방정식을 만족하는 양의 정수 해 $x, y, z$ 가 항상 존재한다고 추측한다. 이 방정식은 다항식 형태인 $4xyz = n(xy + yz + xz)$ 와 동일하다.
$x^4 + y^4 + z^4 = w^4$	오일러는 비자명 해가 존재하지 않는다고 추측했으나 이는 잘못된 것으로 밝혀졌다. 엘키스는 비자명 해가 무한히 많다는 것을 증명했으며, 프라이(Frye)는 컴퓨터 검색을 통해 가장 작은 비자명 해가 $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ 임을 알아냈다.^[4]^[5]

4. 디오판토스 해석학

디오판토스 방정식을 연구하는 수학 분야를 디오판토스 해석학이라고 부른다.^[13] 이 명칭은 헬레니즘 시대인 3세기경 알렉산드리아의 수학자 디오판토스에서 유래했다. 그는 정수해나 유리수해를 갖는 부정 다항 방정식을 체계적으로 연구하고, 그 결과를 《산학》(算學, Arithmetica|아리트메티카^la, Ἀριθμητικῶν|아리트메티콘^grc)이라는 책으로 정리했다. 디오판토스는 대수학에 수학 기호를 도입한 초기 수학자 중 한 명이기도 하다.^[12]

개별적인 디오판토스 방정식 문제는 고대부터 퍼즐이나 문제의 형태로 알려져 왔다. 1637년 피에르 드 페르마는 디오판토스의 저서 《산학》의 여백에 "n이 2보다 더 큰 정수일 때, $x^n + y^n = z^n$ 를 만족하는 0이 아닌 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"고 적었는데, 이는 페르마의 마지막 정리로 알려지게 되었다. 이 문제는 350년 이상 미해결 상태로 남아 있다가 1994년 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다. 또한 1657년 페르마는 $61 x^2 + 1 = y^2$ 의 해를 구하였는데, 이 문제는 이미 천 년 전 인도의 브라흐마굽타가 해결했으며, 18세기 레온하르트 오일러도 동일한 방정식의 해를 구한 바 있다.

디오판토스 방정식의 일반적인 형태, 특히 이차 형식에 대한 체계적인 연구는 20세기에 들어 이루어졌다.

4. 1. 주요 질문

디오판토스 해석학에서는 디오판토스 방정식에 대해 다음과 같은 주요 질문들을 탐구한다.

# 해가 존재하는가?

# 자명한 해^[14] 외에 다른 해가 존재하는가?

# 해의 개수가 유한한가, 아니면 무한한가?

# 이론적으로 모든 해를 찾을 수 있는가?

# 실제로 모든 해를 계산하고 검증할 수 있는가?

이러한 질문들은 때때로 해결하는 데 매우 오랜 시간이 걸리기도 한다. 예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 증명되기까지 300년 이상이 걸렸다.^[15]

모든 디오판토스 방정식이 풀기 어려운 것은 아니다. 예를 들어, 차수가 2인 동차 디오판토스 방정식은 비교적 해결하기 쉬운 편이다. 일반적인 해결 과정은 두 단계로 나뉜다.

# 먼저 해가 하나라도 존재하는지 찾거나, 해가 존재하지 않음을 증명한다.

# 만약 해가 존재한다면, 그 해를 바탕으로 다른 모든 해를 유도한다.

해가 존재하지 않음을 증명하는 한 가지 방법은 방정식을 특정 정수로 나눈 나머지를 이용하는 모듈러 산술을 활용하는 것이다. 예를 들어, 다음과 같은 디오판토스 방정식을 생각해보자.

:

x^2+y^2=3z^2

이 방정식은 (0, 0, 0)이라는 자명한 해 외에는 정수 해를 갖지 않는다. 이를 증명하기 위해, 만약 다른 해 (x, y, z)가 존재한다면, x, y, z의 최대 공약수로 나누어 이들이 상호 소수라고 가정할 수 있다. 어떤 정수의 제곱을 4로 나눈 나머지는 0 또는 1이다. 따라서 방정식 좌변(

x^2+y^2

)을 4로 나눈 나머지는 0(0+0), 1(0+1 또는 1+0), 2(1+1) 중 하나가 된다. 반면 우변(

3z^2

)을 4로 나눈 나머지는

3 \times 0 = 0

또는

3 \times 1 = 3

중 하나이다. 좌변과 우변의 나머지가 같으려면 둘 다 0이어야 한다. 즉,

x^2

,

y^2

,

z^2

모두 4로 나눈 나머지가 0이어야 하므로, x, y, z는 모두 짝수여야 한다. 이는 x, y, z가 상호 소수라는 가정에 모순된다. 따라서 유일한 해는 자명한 해 (0, 0, 0)이다. 이것은 원점을 중심으로 하는 반지름

\sqrt{3}

인 원에 유리점이 없음을 보여주는 것과 같다.

더 일반적으로 하세의 원리를 사용하면 차수 2의 동차 디오판토스 방정식이 정수 해를 갖는지 여부를 결정하고, 존재할 경우 해를 계산할 수 있다. 자명하지 않은 정수 해가 알려진 경우, 이를 이용하여 다른 모든 해를 생성하는 방법도 존재한다.

4. 2. 힐베르트의 10번째 문제

1900년 독일의 수학자 다비트 힐베르트는 20세기에 해결해야 할 중요한 수학 문제 23개를 제시했는데, 이는 힐베르트의 문제들로 알려져 있다. 이 중 열 번째 문제는 "임의로 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 판별할 수 있는 알고리즘을 제시하라"는 것이었다.^[10] 여기서 임의의 디오판토스 방정식이란, 미지수의 개수나 차수에 제한 없이 정수 계수와 상수항으로만 이루어진 방정식을 의미한다. 정수해라는 특별한 조건과 무한히 다양한 방정식의 형태 때문에 이 문제는 기존의 수학적 방법으로는 해결하기 어려운 난제로 여겨졌다. 특히, 방정식의 근의 공식처럼 모든 경우에 적용 가능한 일반적인 절차, 즉 알고리즘을 찾는 것은 매우 어려운 과제였다.

이 문제는 70년 동안 미해결 상태로 남아있다가, 1970년 소련의 수학자 유리 마티야세비치에 의해 해결되었다. 그는 줄리아 로빈슨, 마틴 데이비스, 힐러리 퍼트넘 등의 선행 연구를 바탕으로, 그러한 일반적인 알고리즘은 존재할 수 없다는 것을 증명했다. 즉, 힐베르트의 10번째 문제는 '불가능하다'는 부정적인 결론으로 해결된 것이다.^[16] 이 증명은 마티야세비치 정리로 알려져 있으며, 피보나치 수의 성질을 이용하여 디오판토스 방정식과 계산 가능성 이론을 연결함으로써 이루어졌다.

마티야세비치의 증명은 디오판토스 방정식의 정수해를 찾는 일반적인 방법이 존재하지 않음을 명확히 했다. 심지어 정수해의 존재 여부만을 판정하는 문제에 대해서도, 미지수가 9개인 일반적인 방정식에 대한 판정법조차 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌다. 미지수가 2개인 경우의 일반적인 판정법 존재 여부도 아직 알려지지 않았으며(단, 종수 1의 경우 및 ''y''^''k'' = ''f'' (''x'') 형태의 방정식에 대해서는 원리적으로 판정 가능하다), 유리수 해를 구하는 일반적인 방법의 존재 여부 역시 미해결 문제이다.

마티야세비치 정리의 중요한 결과 중 하나는, 재귀적으로 열거 가능한 모든 정수의 집합 (예를 들어 소수의 집합)에 대해, 그 집합의 원소들을 정확히 정수해로 갖는 디오판토스 방정식이 반드시 존재한다는 것이다. 한편, 일본의 수학자 히로세 겐 역시 마티야세비치와 거의 같은 시기에 독자적으로 이 문제에 대한 부분적인 해결책을 제시한 것으로 알려져 있다.

또한, 특정한 형태의 디오판토스 방정식 문제의 복잡성에 대한 연구도 이루어졌는데, 예를 들어 두 개의 미지수를 가진 2차 방정식 ''ax''² + ''by'' + ''c'' = 0 의 정수해 존재 여부를 판정하는 문제는 계산 복잡성 이론에서 NP 완전 문제임이 증명되었다. 이는 해당 문제의 계산적 어려움을 보여주는 결과이다.

4. 3. 현대적 연구

디오판토스 방정식을 연구하는 분야는 오늘날 "디오판토스 해석학"이라고 불린다.^[13] 20세기 들어 대수기하학을 이용한 접근 방식이 깊이 연구되었다. 디오판토스 방정식은 기하학적으로 초곡면의 방정식으로 볼 수 있으며, 방정식의 정수해는 해당 초곡면 위의 정수 좌표를 갖는 점에 해당한다. 이러한 관점에서 디오판토스 기하학은 유리점, 즉 특정 체 ''K'' 상의 계수를 가지는 다항식(또는 다항식계)의 해 중에서 그 성분이 모두 ''K''에 속하는 점들을 연구한다. 특히 ''K''가 대수적으로 닫힌 체가 아닐 때 중요하다.

디오판토스 방정식을 풀거나 해가 없음을 증명하는 주요 일반적인 방법으로는 피에르 드 페르마가 도입한 무한 강하법과 모든 소수에 대한 모듈러 산술을 이용하는 하세 원리가 있다. 이러한 방법들은 많은 개선에도 불구하고 모든 디오판토스 방정식을 풀 수 있는 것은 아니다.

동차 다항식으로 정의되는 동차 디오판토스 방정식의 해를 찾는 것은 사영 공간에서 사영 초곡면의 유리점을 찾는 것과 같다. 예를 들어

x^d+y^d -z^d=0

형태의 방정식이 대표적이다. 동차 디오판토스 방정식을 푸는 것은 일반적으로 매우 어려운 문제이다. 3보다 큰 차수에 대해서는 해가 없거나(예: 페르마의 마지막 정리), 해의 개수가 유한하다는 팰팅스 정리와 같은 결과가 알려져 있다. 3차 방정식의 경우, 실질적으로 마주치는 거의 모든 방정식에 적용되는 일반적인 해법이 있지만, 모든 3차 방정식에 작동하는 알고리즘은 알려져 있지 않다.^[8] 반면, 2차 동차 디오판토스 방정식은 상대적으로 풀기 쉽다. 하세 원리 등을 사용하여 정수해 존재 여부를 판별하고 해를 찾을 수 있다. 예를 들어, 모듈러 산술을 이용하면

x^2+y^2=3z^2

방정식은 자명한 해 (0, 0, 0) 외에는 정수해가 없음을 보일 수 있다.

디오판토스 방정식 풀이의 근본적인 어려움은 1900년 다비트 힐베르트가 제시한 힐베르트의 열 번째 문제에서 잘 나타난다. 이 문제는 주어진 디오판토스 방정식의 정수해 존재 여부를 판별하는 일반적인 알고리즘을 찾는 것이었으나, 1970년 러시아의 수학자 유리 마티야세비치는 그러한 알고리즘이 존재할 수 없음을 증명했다(마티야세비치의 정리^[10]). 이는 계산 가능성 이론과 관련된 중요한 결과이다. 이 증명의 부산물로, 소수의 집합과 같이 재귀적으로 열거 가능한 모든 정수 집합에 대해, 그 원소들을 정수해로 갖는 디오판토스 방정식이 반드시 존재한다는 사실도 밝혀졌다. 일본의 히로세 겐 역시 마티야세비치와 동시기에 독립적으로 부분적인 해결을 한 것으로 알려져 있다.

또한, 계산 복잡성 이론의 관점에서 2변수 2차 방정식

ax^2 + by + c = 0

의 정수해 존재 판정 문제는 NP 완전 문제임이 증명되었다.

페르마의 마지막 정리는 디오판토스 방정식의 난해함을 보여주는 대표적인 예시이다. 이 문제는 1637년경 제기된 이후 350년 이상 미해결 상태로 남아 있다가, 1994년 영국의 수학자 앤드루 와일스가 대수기하학 등 현대 수학의 도구를 사용하여 증명하였다. 이는 현대적 방법론을 통한 디오판토스 문제 해결의 중요한 성과로 평가받는다.

참조

_[1] 웹사이트 Quotations by Hardy https://web.archive.[...] Gap.dcs.st-and.ac.uk 2012-11-20
_[2] 서적 An Introduction to Number Theory https://books.google[...] Springer
_[3] 간행물 Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem http://users.tpg.com[...]
_[4] 간행물 On ''A''⁴ + ''B''⁴ + ''C''⁴ = ''D''⁴ https://www.ams.org/[...]
_[5] 학회자료 Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications
_[6] 서적 Effective Polynomial Computation Springer Science & Business Media
_[7] 서적 Handbook of Automated Reasoning Volume I Elsevier and MIT Press
_[8] 웹사이트 An Algorithm for Solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations https://core.ac.uk/d[...] 1985-05-08
_[9] 웹사이트 A320067 - Oeis https://oeis.org/A32[...]
_[10] 문서 これらの話題については Martin Davis, Hilbert tenth problem is unsolvable, ''Amer. Math. Monthly'' '''80''' (1973), 233--269 で解説されている。
_[11] 문서 例えば''Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable'' の Lemma 3.5 によれば、''m'' = ''n''^''k'' ( $m, n, k \in \N$ )と、以下のディオファントス方程式系で ''m'' が所与の際にそれ以外の変数（ $\in \N$ ）について解を持つことは同値である。すなわち、指数型ディオファントス方程式が以下の通常のディオファントス方程式系に帰着される。
_[12] 서적 A history of Greek mathematics http://www.archive.o[...] Cambridge University Press: Cambridge
_[13] 서적 수학을 만든 사람들(상) 미래사
_[14] 문서 자명한 해는 모든 변수가 0인 경우나 산술로서 간단히 계산이 가능한 경우 등을 말한다. 예를 들어, [[페르마의 마지막 정리]]의 디오판토스 방정식 $x^n + y^n = z^n$ 의 경우 x, y, z 가 모두 0 이면 n의 값과 관계없이 언제나 성립한다. 그러나 페르마의 마지막 정리는 이런 자명한 경우는 논의에서 제외한다. [[리만 가설]] 역시 자명한 해는 취급하지 않는다.
_[15] 서적 페르마의 마지막 정리 영림카디널
_[16] 문서 Hilbert's Tenth Problem Nauka publisher; English translation (1993) MIT Press; French translation (1995) Masson editeur

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